Wissenschaft

Rätsel der Woche

Umkreist von Kreisen

Ein kleiner Zylinder passt exakt in die Lücke zwischen drei gleich großen Scheiben. Können Sie den Radius des Zylinders berechnen, wenn Sie den der Scheiben kennen?

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Von und (Grafik)
Samstag, 06.01.2018   16:22 Uhr

Galileo Galilei war ein Universalgelehrter, aber ein Fachgebiet der Mathematik hatte es ihm besonders angetan: die Geometrie. Ohne Dreiecke, Kreise und andere geometrische Figuren könne der Mensch die Welt nicht verstehen, schrieb er 1623 in seinem Buch "Il Saggiatore". Mathematik sei die Sprache des Universums.

Im neuen Rätsel können Sie beweisen, wie gut Sie selbst die von Galileo so verehrte Geometrie beherrschen.

Drei gleich große, kreisrunde Scheiben liegen so auf einem Tisch, dass sie sich alle gegenseitig berühren - siehe Bild oben. In dem Freiraum zwischen den drei Scheiben steht ein kleiner Zylinder, der gerade so breit ist, dass er alle drei Scheiben um ihn herum zugleich berührt. Wäre er minimal größer, würde er nicht mehr in die Lücke passen.

Wie groß ist der Radius r des kleinen Zylinders im Verhältnis zum Radius R der drei großen Scheiben?

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insgesamt 66 Beiträge
permissiveactionlink 06.01.2018
1. Ästhetisch schön !
Aber vermutlich für die meisten Schüler mit Trigonometrie-Kenntnissen nach kurzer Zeit lösbar. Ebenso einfache Erweiterungsfrage : Wie lang ist ein geschlossenes Band, das sich eng um die drei äußeren Zylinder windet wie ein [...]
Aber vermutlich für die meisten Schüler mit Trigonometrie-Kenntnissen nach kurzer Zeit lösbar. Ebenso einfache Erweiterungsfrage : Wie lang ist ein geschlossenes Band, das sich eng um die drei äußeren Zylinder windet wie ein Keilriemen o.ä. ?
rotella 06.01.2018
2. So löst es ein E-Techniker
Natürlich kann man das Rätsel durch geometrische oder arithmetische Betrachtungen lösen, aber ich möchte mal einen etwas ungewöhnlicheren Lösungsweg zeigen, der auch auf der Straße ohne Hilfsmittel wie Papier oder TR [...]
Natürlich kann man das Rätsel durch geometrische oder arithmetische Betrachtungen lösen, aber ich möchte mal einen etwas ungewöhnlicheren Lösungsweg zeigen, der auch auf der Straße ohne Hilfsmittel wie Papier oder TR funktioniert. Der E-Techniker sieht in der Graphik sofort ein Phasendiagramm vom Drei-Phasen-Wechselstrom, auch als Drehstrom bekannt. Er weiß, dass zwischen jeweils zwei Ecken des Dreieckes, welches durch die Mittelpunkte der drei farbigen Kreise gebildet wird, eine Wechselspannung von 400V liegt, die Spannung zwischen zwei Phasen eben. Er weiß auch, dass die Wechselspannung zwischen einer Phase und Nullleiter, im Diagramm ist das die Strecke von einer Ecke zum Mittelpunkt des Dreiecks, 230V beträgt. Jede Seite des Dreiecks ist 2R lang, also ist R=400V/2=200V. Die Strecke von einer Ecke zum Mittelpunkt ist R+r lang, also R+r=230V. Ich ziehe im Kopf R ab (200V) und erhalte r=230V-200V=30V. r geteilt durch R ergibt 30/200=0,15 Zwar ist dies nicht genau das Ergebnis, weil die Spannungen eben nicht exakt 230 und 400 Volt betragen, aber doch genau genug für die meisten praktischen Zwecke. ;-)
bushmills 06.01.2018
3. oder auch ...
r * sqrt(tan(30)² + 1) - 1
r * sqrt(tan(30)² + 1) - 1
fht 06.01.2018
4. es geht auch ohne cosinus
nur mit Pythagoras: Ich benenne die senkrecht gezeichnete Seite des kleinen roten Dreiecks mit h. Dann wir verlängere ich die Seite am eingezeichneten 30°-Winkel bis zu gegenüberliegenden Dreiecksseite. Sie ist eine [...]
nur mit Pythagoras: Ich benenne die senkrecht gezeichnete Seite des kleinen roten Dreiecks mit h. Dann wir verlängere ich die Seite am eingezeichneten 30°-Winkel bis zu gegenüberliegenden Dreiecksseite. Sie ist eine Höhe im großen gleichseitigen Dreieck und hat damit die Länge 1/2*Wurzel(3)* Seitenlänge, also Wurzel(3)*R. Gleichzeitig gilt für ihre Länge: R+r+h. Also: h = R*[wurzel(3) - 1 ] - r Im roten Dreieck gilt der Pythagoras: R² + h² = (R+r)² R² + h² = R² +2Rr + r² h² = 2Rr + r² ich setze h ein: r²*[3-2*Wurzel(3)+1] - 2*r*R*[Wurzel(3)-1] + r² = 2Rr+r² R²[4-2*Wurzel(3)] = 2*R*r*{[wurzel(3)-1]+1} r = {2R²*[2-wurzel(3)]}/{2*R*wurzel(3)} = R{2/[wurzel(3)] -1} = 0,1547 R
alex300 06.01.2018
5. Man kann es ohne Trigonometrie lösen
Der Pythagorassatz reicht vollkommen
Der Pythagorassatz reicht vollkommen

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