Rätsel der Woche

Wie groß ist das innere Quadrat?

In einem Quadrat befindet sich ein Kreis - darin wiederum steckt ein weiteres Quadrat. Was wissen Sie über die Größenverhältnisse dieser geometrischen Matroschka?

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Von Holger Dambeck und Michael Niestedt (Grafik)

Sonntag, 30.06.2019 08:00 Uhr

Matroschkas sind eine faszinierende Erfindung: In einer Figur steckt eine kleinere Version davon, und darin eine noch kleinere - und so weiter. Im heutigen Rätsel geht es um eine geometrische Variante dieser aus Russland bekannten Holzfiguren.

In einem Quadrat befindet sich ein Kreis, der so groß ist, dass er alle vier Seiten des Quadrats berührt. In dem Kreis wiederum steckt ein weiteres Quadrat, dessen vier Ecken den Kreis von innen berühren.

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Der Einfachheit halber gehen wir davon aus, dass die Liniendicke null beträgt. Also liegen die Eckpunkte des inneren Quadrats auf dem Kreis.

Wenn Sie die Fläche des großen, grauen Quadrats kennen - wie groß ist im Verhältnis dazu die Fläche des inneren, blauen Quadrats?

1. Teil: Wie groß ist das innere Quadrat?
2. Teil: Hier geht es zur Lösung

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insgesamt 74 Beiträge

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Affenhirn 30.06.2019

1. Langweilig

Es geht auch ohne Drehen und Linien Malen schnell: Der Durchmesser ist D. Dann lässt sich mit Hilfe von Pythagoras hinsichtlich der Seitenlängen des kleinen Dreiecks sagen: D^2= A^2 + A^2. Da A^2 auch die Fläche des inneren Quadrates ist, lässt diese sich ausdrücken als D^2/2. Die Fläche des großen Quadrates ist, wie man sieht, D^2. Also ist das innere Quadrat halb so groß, wie das äußere Quadrat. Mit diesen beiden Quadraten beginnt übrigens auch die Abschätzung des Flächeninhalts eines Kreises. Durch Wahl immer kleinerer Quadrate als obere und untere Grenze kommt man zur Bestimmung von Pi und damit zur Quadratur des Kreises. Hier in der ersten Stufe bekommt man als untere Grenze für Pi 2 und als obere Grenze 4.

st.esser 30.06.2019

2. Seitenlänge und Diagonale

Meiner Meinung nach noch einfacher ist es, wenn man sieht, dass der Durchmesser des Kreises der Seitenlänge des äußeren Quadrats entspricht und der Länge der Diagonale des Inneren. Damit ist klar, dass das Längenverhältnis gleich Wurzel aus 2, das Flächenverhältnis gleich 2 ist, das innere Quadrat also die halbe Fläche hat. Es hängt aber letzten Endes nur davon ab, ob man auf die Flächen schaut (wie in der Beispiellösung) oder auf die Kantenlängen, und ich schätze, das lässt für jeden, der eine Lösung findet, eine persönliche Präferenz erkennen ...

dwg 30.06.2019

Da Verhältnis der Quadrate ist 0,7071 (1/2*SQRT2)

dasfred 30.06.2019

4. So mag ich das Sonntagsrätsel

Im ersten Moment rotieren noch alle möglichen Flächenformeln durch den mit allem Pi und Quadrat. Wenn man dann die Aufgabe genau ließt, sieht, das nach einer Viertel Drehung die Ecken des inneren Quadrates auf der Mitte der Seitenlinien liegen, dann merkt man sofort, der Kreis irritiert nur und wird jetzt nicht mehr zur Berechnung gebraucht. So ein schnelles Erfolgserlebnis baut doch gleich auf.

inmado 30.06.2019

5. Falsche Fragestellung

"Komplizierte Flaschenberechnung"? Die ist doch nicht kompliziert! Ich habe genau das gemacht. Im Kopf. Und bin so schnell auf die Lösung gekommen. Schade. Die Frage hätte letzten müssen: Bestimme das Verhältnis der Flächen beider Quadrate geometrisch. Also ohne zu rechnen. So habe ich zwar die Lösung gefunden, aber dennoch das Gefühl, das Rätsel nicht wirklich gelöst zu haben. - Zur Flächenberechnung: Für das innere Quadrat gilt: (a/2)^2+(a/2)^2=r^2, also a^2=2r^2. Für das äußere Quadrat gilt: a=2r, also a^2=4r^2.

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